Никому кроме курдов от дробления Турции не перепадет. Самое большее от Турции отколется несколько вилайетов с курдским населением - включая на бывших армянских землях.
Чье давление и каким образом? Турция - локальная держава с имперскими амбициями. Которые частично сталкиваются с имперскими амбициями России (как минимум в Азербайджане и Средней Азии) и даже её территориальной целостностью (турки имеют немало сторонников среди российских мусульман). Дробление Турции (а точнее образование Курдистана на её востоке) эти имперские амбиции ослабит и избавит Россию от естественного геополитического соперника. Иран его место все равно не займет - Азербайджан шиитским государством никак не назовешь, а российским суннитам он тем более не друг.
Что касается дестабилизации в регионе, то она России выгодна при любом раскладе. Зачем Тарасов нес эту ахинею про то, как неблагодарное Закавказье не понимает угроз с юга непонятно - ему ли не знать, что те же армяне эту угрозу с юга связывают с дестабилизацией во враждебной Турции. Откуда дестабилизация никак не может распространится через закрытую армяно-турецкую границу. Курдское население - буфер не хуже турецкого государства. Хотя ИГИЛ ловить в Армении все равно нечего - ему куда интереснее Азербайджан, но там буфером является Иран.
Россия поддерживает Ассада не потому, что боится неконтролируемой дестабилизации, а потому, что он её союзник. Он, а не эрдоганская или какая-то другая Турция. Дестабилизация в этой Турции не только подрывает её имперские амбиции, но и ставит под угрозу трубопроводы с каспийскими углеводородами, которые в свою очередь подрывают российскую монополию. Так что у России двойной интерес к развалу Турции. И кроме упрямого стремления во всем противоречит американцам (у которых, после их глупостей в Ираке и Ливии, все же хватает ума делать ставку на курдскую силу) у России нет никаких стимулов помешать курдскому сепаратизму. Сейчас у России связаны руки, но если режим Ассада рухнет, то ИМХО самое правильное на месте России - форсированно наладить контакты к курдами и признать курдскую государственность по меньшей мере в Сирии, опередив США.