В армянской школе- 7 классе- используется доказательство, в котором в квадрат в писан другой со сдвигом на 45 и касающийся вершинами середин большего квадрата. Доказательство тривиальное, но не основывается непосредственно только на аксиомах.
А треугольник в круг очень легко- гипотенуза - диаметр например